Beim Suchen über Google bin ich auf ein mathematik-Zitat gestoßen, das mich total überrascht hat - stimmt es wirklich, hat jemand eine Erklärung vernommen oder weiß einen Gegenbeweis?

Hier das Zitat:

"Ich wenigstens kenne keine vollbefriedigende Erklärung dafür, warum jede ungerade Zahl (von 3 ab), mit sich selbst multipliziert, stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest ergibt."

Erich Bischoff, Erforscher der Kabbalah, 1920

Jo... hol dir mal was zu trinken, es dauert länger...

Vorbemerkung: alle Platzhalter stehen für positive Ganzzahlen.

Die obige Aussage könnte man auch so formulieren:
Für jedes ungerade n mit n > 2 gilt:
n² = (x * 8) + 1

Da man jedes n als g + 1 ausdrücken kann, wobei g für eine gerade Zahl steht, gilt auch:
(g + 1)² = (x * 8) + 1
Nach der 1. Binomischen Formel (a+b)²=a+2ab+b²
kann man den Ausdruck (g + 1)² folgendermaßen auflösen:
(g + 1)² = g² + 2g + 1
Es gilt also:
g² + 2g + 1 = (x * 8) + 1 (denn beides ist gleich (g + 1)²)
Die 1 kann man auf beiden Seiten abziehen:
g² + 2g = x * 8
oder auch (wenn man g ausklammert)
g (g + 2) = x * 8

Diese Aussage bedeutet in Prosa:

"Jede gerade Zahl, multipliziert mit "sich selber + 2", ergibt ein Vielfaches von 8."

Daß dies stimmt, werde ich nun zeigen (damit ist dann auch die ursprüngliche Aussage bewiesen).

Zunächst betrachten wir einige Beispiele:
Für g = 2, 4, 6, 8... lautet die Gleichung:
2 (2 + 2) = 2 * 4 = 8 * 1
4 (4 + 2) = 4 * 6 = 8 * 3
6 (6 + 2) = 6 * 8 = 8 * 6
8 (8 + 2) = 8 * 10 = 8 * 10
... usw. usw.
Sieht schon ganz gut aus, oder? Es kommt tatsächlich jedesmal ein Vielfaches von 8 heraus.

Nun aber wieder abstrakt:
Um alle "Pärchen" mit "g" und "g+2" zu erwischen (wohlgemerkt, g sind nur gerade Zahlen),
können wir den Ausdruck auch so bezeichnen:
(2 + 2n) * (4 + 2n) wobei n = 1,2,3, ...

Dieser Ausdruck soll also für jedes n ein Vielfaches von 8 ergeben.
Um das zu prüfen, lösen wir die Multiplikation auf:
(2 * 4) + (2 * 2n) + (2n * 4) + (2n * 2n)
Zusammengefaßt kann man auch schreiben:
8 + 12n + 4n² Dieses soll ein Vielfaches von 8 sein.

Daß das Addieren von 8 nichts daran verändert, ob das Ergebnis ein "Vielfaches" von 8 ist (das Ergebnis wird nur ein x+1-faches statt ein x-faches), ist evident; näher betrachtet werden muß also nur noch 12n und 4n².

Wenn man 12 mit n = 1,2,3,... multipliziert, kommt abwechselnd
a) bei geraden n ein Vielfaches von 8 ohne Rest (24, 48, 72, ...) oder
b) bei ungeraden n ein Vielfaches von 8 mit Rest 4 (12, 36, 60, ...) heraus.

Wenn man sich den 2. Ausdruck anschaut, nämlich 4n², so ist das Ergebnis von n²
je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, stets eine gerade oder ungerade Zahl (genau wie n selbst).
Dieses Ergebnis, mit 4 multipliziert, wird immer...
a) bei geraden n ein Vielfaches von 8 ohne Rest ergeben und
b) bei ungeraden n ein Vielfaches von 8 mit Rest 4.

Ergo:
Für gerade n ergibt sich:
8 + "ein Vielfaches von 8" + "noch ein Vielfaches von 8"
Für ungerade n ergibt sich:
8 + ("ein Vielfaches von 8" + 4) + ("noch ein Vielfaches von 8" + 4)
Bei ungeraden n addieren sich also die beiden Teilerreste ebenfalls zu 8.

q.e.d.

Gute Nacht!

Ganz toll, das hat mir Spaß gemacht - auch ohne Getränk dabei. Wieso hat der Herr Bischoff das noch nicht gewußt? Oder hast Du Dir das gerade ebenso mal überlegt? Dann würde ich Dich für einen noch zu stiftenden Nobelpreis in Mathematik vorschlagen. ;-)

Also vielen Dank! Ich hoffte natürlich eher, daß es keine Antwort gibt, dann wäre mir die geistige Anstrengung erspart geblieben - ♣

Ich hab's mir tatsächlich gerade eben so mal überlegt, Jo...
Der gute Herr Bischoff hat sich vielleicht zu viel mit Kabbalah beschäftigt und zu wenig mit Mathematik.
Bei mir ist es eher umgekehrt :-)

Aber ich glaube, um heutzutage den Nobelpreis in Mathematik zu bekommen, muß man die Quadratur des Kreises lösen oder so!

Vielen Dank übrigens für die Anregung, sie hat mir einen vergnüglichen Abend bereitet.

Hallo Johannes Michalowsky,
wie bekommst Du das Kleeblatt in den Text?

Ich hab's mir ja gleich gedacht... es geht auch viiiiiiiiiiiiel einfacher.
Aber das ist mir erst kurz vorm Einschlafen eingefallen.

Und zwar so:
Die aufgestellte Behauptung des Herrn Bischoff
kann man so ausdrücken:
(2n + 1)² = 8x + 1 /* für n = 1,2,3,...
4n² + 4n + 1 = 8x + 1
4n² + 4n = 8x
4(n² + n) = 8x
n² + n = 2x
(n² + n) : 2 = x

Für jedes gerade n ist n² ebenfalls gerade, also ergibt n² + n für gerade n immer eine gerade Zahl.
Für jedes ungerade n ist n² ebenfalls ungerade, also ergibt n² + n für ungerade n auch immer eine gerade Zahl.

Also ist die letzte Gleichung (n² + n) : 2 = x für jedes ganzzahlige positive n und jedes ganzzahlige positive x gültig.

Das war's eigentlich schon.

Könnte mir eines der rechnenden Superhirne diese Rechnung auflösen?

b7 X n3 (aa9/3) = ?

b7 x n3 (aa9/3) = 7b * n3 * 3a² = 63a²bn

a = *A*nzahl Liegestützen, die du ohne Zusammenbruch schaffst
b = *Bücher*, die du pro Woche durchschnittlich liest
n = *n*och unerfüllte Wünsche und Sehnsüchte

Das Ergebnis sollte so ungefähr um 5000 betragen, das läßt auf eine hohe Lebenserwartung hoffen ;-)

@bello

Das ist kein Kleeblatt, sondern das Spielkartensymbol für Kreuz, da mußt Du hier nur das Wort "clubs" eingeben und vorher ein & stellen und dahinter ein ; (kann ich hier nicht vorführen, sonst kommt sofort wieder das Kreuz - probier es halt mal).

Und hier noch ein Symbol: ♦ - das soll Karo sein, sehr schön kommt es wohl nicht heraus, jedenfalls nicht bei mir.

@Doris

Freut mich ja, aber die Nachtruhe wollte ich Dir nun schon gar nicht nochmal rauben, nachdem ich Dich schon für die nicht-sichtbaren Leoniden rausgetrieben hatte! Wer ahnt schon, daß wir ein solches mathhematisches Genie unter uns haben! :-)

@ Johannes Michalowsky,
das ist ja total spannend. Wo lernt man denn soooo etwas?

Wenn ich unter Word2000 das hier --> :-) <-- eingebe, verwandelt es sich dort in einen Smiley, der aber hier wieder als :-) erscheint.

Mich interessiert immer, wie so etwas zustande kommt.

@bello

Dann schau mal in dieser URL nach:

https://selfhtml.teamone.de/html/referenz/zeichen.htm#benannte_iso8859_1

(ich schreib es nicht unten rein, weil das unserem Webmaster evt. zu lang würde). Das ist eine Zusammenstellung, die vielfach abgekupfert worden ist und sich in mehreren Web Sites findet.

Außerdem guck mal in meinen Lehrgang, Abschnitt IX, ganz am Ende. Da ist das am Beispiel des "harten" Leerzeichens erklärt. ♠

Danke für die Antwort, Jo, sie bereichert arbeitsbezogen mein Wochenende :-).

Ich kann der mathematischen Auslegung nicht ganz folgen. Aber ich sehe die Sache so:

Ausgehend von n*n=x*g+1 (g = gerade Zahl, n=3,5,7,...)

n*n ist eine ungerade Zahl, also n*n-1 eine gerade Zahl.
Deshalb muss die rechte Seite auch eine gerade Zahl sein.

Das Produkt x*g kann nur eine gerade Zahl sein. Also ist x eine ganze Zahl.

Interessant ist daß g=2,4,8 auch gültig sind...

DorisW bist Du Hellseherin? (;--)))) Kompliment!